國一數學・一元一次方程式

單元 3|一元一次方程式
全部題目完整解題

依照講義順序完整處理第 24~33 題與兩頁課堂演練。所有解法限定使用國中一年級方法:去括號、移項、等式性質、代入與基本分數運算,不使用超綱技巧。

國一方法限定 計算完整不跳步 解答預設收摺 原題頁面內嵌 答案總表置底
建議使用方式:先讓孩子自行作答,再點開「查看解題方法與答案」。分數題特別保留逐步運算,避免直接跳到答案;第 31~33 題也會說明「無解、無限多解、唯一解」的判斷理由。

原題掃描

原題第 1 頁|第 24~26 題 原題第 1 頁
原題第 2 頁|課堂演練 ex1、ex2+第 27 題 原題第 2 頁
原題第 3 頁|第 28~30 題 原題第 3 頁
原題第 4 頁|課堂演練 ex1~ex4 原題第 4 頁
原題第 5 頁|第 31~33 題 原題第 5 頁

逐題完整解題

24

第 24 題|多重括號型方程式

解下列各方程式。

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(1) 4〔3(x+1)+2(1-x)〕=x+8

4〔3x+3+2-2x〕=x+8
4(x+5)=x+8
4x+20=x+8
4x-x=8-20
3x=-12
x=-4
(1)x=-4

(2) 3(2x+3)-5〔2x+2(x-2)〕=1

6x+9-5〔2x+2x-4〕=1
6x+9-5(4x-4)=1
6x+9-20x+20=1
-14x+29=1
-14x=1-29
-14x=-28
x=2
(2)x=2
答案:(1) x=-4 (2) x=2
25

第 25 題|分數括號方程式

解 1/3〔1/5(1/2+x)〕=1。

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這題用國一最直接的方法:等式兩邊依序乘上分母,把外層分數一層一層消掉。

1/3〔1/5(1/2+x)〕=1

等式兩邊同乘 3:
1/5(1/2+x)=3

等式兩邊同乘 5:
1/2+x=15

x=15-1/2
x=30/2-1/2
x=29/2
x=29/2(也就是 14.5)
答案:x=29/2
26

第 26 題|多層分數括號

解兩個多層分數括號的一元一次方程式。

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(1) 1/2{1/3〔1/4(1/5x-1)〕}+1=0

由最外層開始,用等式性質逐層消掉分母。

1/2{1/3〔1/4(1/5x-1)〕}+1=0
1/2{1/3〔1/4(1/5x-1)〕}=-1

兩邊同乘 2:
1/3〔1/4(1/5x-1)〕=-2

兩邊同乘 3:
1/4(1/5x-1)=-6

兩邊同乘 4:
1/5x-1=-24
1/5x=-23

兩邊同乘 5:
x=-115
(1)x=-115

(2) 1/5{1/4〔1/3(1/2x-1)-2〕-3}=4

1/5{1/4〔1/3(1/2x-1)-2〕-3}=4

兩邊同乘 5:
1/4〔1/3(1/2x-1)-2〕-3=20
1/4〔1/3(1/2x-1)-2〕=23

兩邊同乘 4:
1/3(1/2x-1)-2=92
1/3(1/2x-1)=94

兩邊同乘 3:
1/2x-1=282
1/2x=283

兩邊同乘 2:
x=566
(2)x=566
答案:(1) x=-115 (2) x=566
p2ex1

課堂演練 ex1|多重括號型方程式

求兩個一元一次方程式的解。

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(1) 5-〔2x-(3+x)〕=3(x-8)

5-〔2x-3-x〕=3x-24
5-(x-3)=3x-24
5-x+3=3x-24
8-x=3x-24
8+24=3x+x
32=4x
x=8
① 8

(2) 7+〔5-(x-6)〕=8+9x

7+〔5-x+6〕=8+9x
7+11-x=8+9x
18-x=8+9x
18-8=9x+x
10=10x
x=1
② 1
答案:① 8 ② 1
p2ex2

課堂演練 ex2|分數括號方程式

解 1/5{1/3〔1/2(x-1)+2〕}=2。

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1/5{1/3〔1/2(x-1)+2〕}=2

兩邊同乘 5:
1/3〔1/2(x-1)+2〕=10

兩邊同乘 3:
1/2(x-1)+2=30
1/2(x-1)=28

兩邊同乘 2:
x-1=56
x=57
③④ 57
答案:x=57
27

第 27 題|先解方程式,再代入求值

先由 1-2x=3/4 求出 x,再完成算式與表格。

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(1) 依序填入計算步驟

1-2x=3/4
-2x=3/4-1
-2x=3/4-4/4
-2x=-1/4

x=(-1/4)÷(-2)
x=(-1/4)×(-1/2)
x=1/8

再求 4/3x+1:

4/3x=4/3×1/8
=4/24
=1/6

4/3x+1=1/6+1
=1/6+6/6
=7/6
四個空格依序:-1/4、1/8、1/6、7/6

(2) 完成表格 ①~④

第一欄已知 1-2x=3/4,所以:

① x=1/8
② 4/3×1/8+1=1/6+1=7/6

第二欄已知 4/3x+1=-3:

4/3x+1=-3
4/3x=-4
x=-4×3/4
x=-3

所以:

③=-3
④=1-2(-3)
=1+6
=7
① 1/8 ② 7/6 ③ -3 ④ 7
答案:(1) -1/4、1/8、1/6、7/6 (2) ①1/8 ②7/6 ③-3 ④7
28

第 28 題|已知解,反求係數

若 x=-1 為 a(x+3)+2(x-1)=x+3 的解,求 a。

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因為題目告訴我們 x=-1 是方程式的解,所以直接把 x=-1 代入。

a(-1+3)+2(-1-1)=-1+3
a(2)+2(-2)=2
2a-4=2
2a=6
a=3
答案:a=3
29

第 29 題|兩方程式有相同的解

5(x+2)=2x-2 與 3x+8=nx-6 的解相同,求 n。

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第一步:先解第一個方程式。

5(x+2)=2x-2
5x+10=2x-2
5x-2x=-2-10
3x=-12
x=-4

第二步:兩個方程式的解相同,所以把 x=-4 代入第二個方程式。

3x+8=nx-6
3(-4)+8=n(-4)-6
-12+8=-4n-6
-4=-4n-6
-4+6=-4n
2=-4n
n=-1/2
答案:n=-1/2
30

第 30 題|先解方程式,再求代數式的值

先求 x,再代入指定算式。

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(1) 1.3x-1.2(x-1.5)=1.5,求 x/(x+1)

1.3x-1.2x+1.8=1.5
0.1x+1.8=1.5
0.1x=-0.3
x=-3

代入:

x/(x+1)
=(-3)/(-3+1)
=(-3)/(-2)
=3/2
(1)3/2

(2) x-{3-〔x+(x+3)〕}=5,求 (x-3)²/(3x-1)

x-{3-〔x+x+3〕}=5
x-{3-(2x+3)}=5
x-(3-2x-3)=5
x-(-2x)=5
3x=5
x=5/3

代入求值:

(x-3)²/(3x-1)
=(5/3-3)² ÷ (3×5/3-1)
=(5/3-9/3)² ÷ (5-1)
=(-4/3)² ÷ 4
=16/9 ÷ 4
=16/9 × 1/4
=4/9
(2)4/9
答案:(1) 3/2 (2) 4/9
p4ex1

課堂演練 ex1|表格求值

已知同一個 x 代入 5x-4 得 36,求表格下方被塗汙處的值。

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先由第一列找出 x。

5x-4=36
5x=40
x=8

再代入下方算式:

3/4x-7
=3/4×8-7
=6-7
=-1
答案:-1
p4ex2

課堂演練 ex2|已知方程式的解,求係數

若 x=3 為 ax-9=0 的解,求 a。

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把 x=3 代入:
a×3-9=0
3a=9
a=3

所以選項為 (3)。

答案:a=3(選項 3)
p4ex3

課堂演練 ex3|已知解,反求 m

mx+1/2=1/5x+2 的解為 5,求 m。

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把 x=5 代入。

5m+1/2=1/5×5+2
5m+1/2=1+2
5m+1/2=3
5m=3-1/2
5m=6/2-1/2
5m=5/2
m=(5/2)÷5
m=1/2

所以 m=0.5,選項為 (1)。

答案:m=1/2=0.5(選項 1)
p4ex4

課堂演練 ex4|兩方程式同解

ax+5=2a+14 與 2x+3=3x-2 有相同的解,求 a。

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先解第二個方程式:

2x+3=3x-2
3+2=3x-2x
5=x
x=5

把 x=5 代入第一個方程式:

5a+5=2a+14
5a-2a=14-5
3a=9
a=3

所以選項為 (3)。

答案:a=3(選項 3)
31

第 31 題|正整數範圍下的解

x 為正整數,解 x+3=3。

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x+3=3
x=3-3
x=0

但是題目限定 x 為正整數,而 0 不是正整數。

所以在正整數範圍內無解。
答案:無解(因 x=0 不是正整數)
32

第 32 題|無解與無限多解

判斷兩個方程式的解的類型。

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(1) 0.1+2.3x=2.3x-0.1

0.1+2.3x=2.3x-0.1
兩邊同減 2.3x:
0.1=-0.1

得到不可能成立的等式,所以:

(1)無解

(2) 0.1+2.3x=2.3x+0.1

0.1+2.3x=2.3x+0.1
兩邊同減 2.3x:
0.1=0.1

這個等式永遠成立,不論 x 代入什麼數都成立,所以:

(2)無限多解
答案:(1) 無解 (2) 無限多解
33

第 33 題|一元一次方程式解的類型

ax+d=bx+c,分別寫出唯一解、無限多解、無解的條件。

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先把含 x 的項放一邊、常數放另一邊:

ax+d=bx+c
ax-bx=c-d
(a-b)x=c-d

(1) 方程式有唯一解

要能求出唯一的 x,x 前面的係數不能是 0。

a-b ≠ 0
所以 a ≠ b

(2) 方程式有無限多解

如果 x 的係數相同,而且左右常數也相同,兩邊其實是同一個式子。

a=b 且 d=c

(3) 方程式無解

如果 x 的係數相同,但左右常數不同,最後會得到不可能成立的等式。

a=b 且 d≠c
答案:(1) a≠b (2) a=b 且 c=d (3) a=b 且 c≠d

全部答案彙整

題目答案
24(1)x=-4
24(2)x=2
25x=29/2
26(1)x=-115
26(2)x=566
課堂 ex1(1)8
課堂 ex1(2)1
課堂 ex257
27(1)-1/4、1/8、1/6、7/6
27(2)①1/8 ②7/6 ③-3 ④7
28a=3
29n=-1/2
30(1)3/2
30(2)4/9
課堂 ex1(表格)-1
課堂 ex2a=3
課堂 ex3m=1/2
課堂 ex4a=3
31無解
32(1)無解
32(2)無限多解
33(1)a≠b
33(2)a=b 且 c=d
33(3)a=b 且 c≠d
第 31 題:若只解方程式會得到 x=0;但題目限制 x 為正整數,因此本題在指定範圍內「無解」。